Исторически одной из первых математических моделей, предложенных для оценки межрайонных корреспонденций, была гравитационная модель. Эта модель основана на следующем простом положении: корреспонденция из одного района в другой будет тем больше, чем больше ёмкости районов прибытия и отправления, и чем ближе друг к другу расположены эти районы.
Название модели объясняется схожестью формулировки с законом всемирного тяготения, согласно которому сила притяжения пропорциональна массам тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Роль масс здесь играют ёмкости районов (можно понимать их как общие объёмы прибытия и отправления в этих районах). Близость или дальность районов определяется, конечно, не географическим расстоянием, а дальностью в транспортном смысле. Убывание корреспонденций с ростом дальности описывается некоторой функцией, которую иногда называют функцией тяготения. Обычно на практике применяют экспоненциально убывающую функцию. Математически данная модель выражается следующей формулой:
где Oi – отправление из района i, Dj – прибытие в район j, Cij – дальность между районами i и j, Gij() – функция тяготения между районами i и j (в частном случае – экспонента). Заменить знак пропорциональности знаком точного равенства в этой формуле нельзя, поскольку при известных объёмах ПО корреспонденции должны удовлетворять условиям баланса:
То есть сумма всех исходящих (входящих) корреспонденций в каждом районе должна совпадать с общим объёмом отправления (прибытия) в этом районе. Для того, чтобы удовлетворить этим условиям, в формулу (1) добавляют так называемые «балансирующие» коэффициенты:
Процедура расчёта этих коэффициентов называется балансировкой матрицы. Можно сказать, что балансировка матрицы состоит в том, чтобы изменить эту матрицу минимальным образом, так чтобы она начала удовлетворять условиям баланса в каждом районе.
Передвижения, совершаемые с разными целями, по-разному чувствительны к фактору дальности. Например, дальность гораздо больше влияет на выбор магазина, в котором можно купить продукты, чем на выбор места работы. Поэтому для передвижений, совершаемых с разными целями, необходимо рассчитывать корреспонденции отдельно, применяя более «крутые» или более «пологие» функции тяготения. В случае экспоненциальной функции тяготения «крутизна» определяется параметром λ. Как показывает практика, подходящим значением λ для трудовых корреспонденций является 0.06-0.07, для передвижений с культурно-бытовыми целями – 0.15-0.2.